复数的引入
编辑
我们知道，在实数范围内，方程
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
无解。也就是说，负实数不能求平方根。
但如果我们硬要写出这个方程的根，那么我们会得到
x
=
−
1
{\displaystyle x={\sqrt {-1}}}
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每次扩充都与实际需求密切相关。例如，为了解决正方形对角线的度量，以及
x
2
−
2
=
0
{\displaystyle x^{2}-2=0}
这样的方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。那么，为了解这个方程，我们也要引入一种新的数。
为此，我们引入一个数
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
，使得
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
，那么上面的这个方程的解就可以写成
x
=
i
{\displaystyle x=i}
下一步，我们希望数
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律。
因此，把实数
b
{\displaystyle b}
与
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
相乘记作
b
i
{\displaystyle b\mathrm {i} }
；把实数
a
{\displaystyle a}
与
b
i
{\displaystyle b\mathrm {i} }
相加，结果记作
a
+
b
i
{\displaystyle a+b\mathrm {i} }
。这样，所有我们已经讨论过的数都可以写成
a
+
b
i
{\displaystyle a+b\mathrm {i} }
的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中。
复数的定义和分类
编辑
定义 1： 形如
a
+
b
i
(
a
,
b
∈
R
)
{\displaystyle a+b\mathrm {i} (a,b\in \mathbb {R} )}
的数为复数，其中
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
叫做虚数单位，一切复数构成的集合叫做复数集，用字母
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
表示。
像这样，用
z
=
a
+
b
i
(
a
,
b
∈
R
)
{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} (a,b\in \mathbb {R} )}
的形式表示复数
z
{\displaystyle z}
，就叫做复数的代数形式。其中
a
{\displaystyle a}
叫做
z
{\displaystyle z}
的实部，
b
{\displaystyle b}
叫做
z
{\displaystyle z}
的虚部。
如果
a
=
0
{\displaystyle a=0}
，那么这个复数就被叫做纯虚数。
我们已经定义的概念有如右图所示的关系。
复数关系图
复数的几何意义
编辑
实数和数轴上的点一一对应，自然地，我们也希望将这样的几何意义拓宽到复数去。
首先，我们说
z
1
=
a
+
b
i
{\displaystyle z_{1}=a+b\mathrm {i} }
和
z
2
=
c
+
d
i
{\displaystyle z_{2}=c+d\mathrm {i} }
相等，当且仅当
a
=
b
{\displaystyle a=b}
且
c
=
d
{\displaystyle c=d}
。这是十分自然的一个定义。
进而，我们就可以用惟一的有序实数对
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
来表示复数，而这样的实数对又和平面直角坐标系中的点一一对应。这样，我们就在 复数
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }
和点
(
a
,
b
)
{\displaystyle \left(a,b\right)}
之间建立了一一对应关系。
同时，我们又知道，向量的坐标表示也是一个有序实数对，因此我们也能在复数和向量之间建立一一对应关系。也就是说，复数
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }
和点
Z
(
a
,
b
)
{\displaystyle Z(a,b)}
，和向量
O
Z
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OZ}}}
之间，都有一一对应关系。
因此，我们可以把向量的模的概念，即
|
O
Z
→
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |{\overrightarrow {OZ}}|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
，迁移到复数来。
定义 2: 复数
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} }
的 模 为
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
复数的基本运算
编辑
